Question

【題目】已知拋物線與軸、軸分別相交于點A（－1，0）和B（0，3），其頂點為D。

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）畫出此拋物線；

（3）若拋物線與軸的另一個交點為E，求△ODE的面積；

（4）拋物線的對稱軸上是否存在點P使得△PAB的周長最短。若存在請求出點P的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3 ；（2）如圖所示，見解析；（3）S△ODE=6；（4）存在，點P坐標（1，2）.

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入求出b，c即可；

（2）描點、畫圖即可；

（3）令y=0求出x的值，可得E點坐標，把拋物線一般式化成頂點式可得頂點D的坐標，然后根據三角形面積公式計算即可；

（4）連接BE交拋物線的對稱軸x=1于點P，此時PA+PB的值最小，即△PAB的周長最短，求出直線BE的解析式，然后即可解決問題.

解：（1）根據題意得，

解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖所示：

（3）當y=0時，即﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴E（3，0），

∵拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2 + 4，

∴頂點坐標D（1，4），

∴S△ODE=×3×4=6；

（4）連接BE交拋物線的對稱軸x=1于點P，如圖，此時PA+PB的值最小，即△PAB的周長最短，

設直線BE的解析式為y=kx+b(k≠0)，

則，解得：，

∴直線BE的解析式為：y=﹣x+3，

當x=1時，y=﹣x+3=2，

∴點P坐標為（1，2）.