Question

【題目】點P為⊙O內一點，A、B、C、D為圓上順次四個點，連接AB、CD，OM⊥AB于點M，連接MP并延長交CD于點N，連接PA、PB、PC、PD．

（1）如圖1，若A、P、C三點共線，B、P、D三點共線，且AC⊥BD，求證：PN⊥CD；

（2）如圖2，若PA＝PD，PA⊥PD，PC＝PB，PC⊥PB，求證：PN⊥CD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，PA＝10，PC＝6，∠APB＝60°，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）7+

【解析】

由OM⊥AB于點M,知M是AB的中點;

（1）∠APM+∠B＝90°,證明∠APM＝∠CPN即可;

（2）（3）通過作圖證:△AEN≌△BPM（AAS）和△DPC≌△PAE（SAS）即可．

解:∵OM⊥AB于點M,

∴M是AB的中點;

（1）如圖1,M是AB的中點,在Rt△APB中,∠A＝∠APM,

∵AC⊥BD,

∴∠APB＝90°,

∴∠A+∠B＝90°,即:∠APM+∠B＝90°,

而∠B＝∠C,∠APM＝∠CPN,即:∠CPN+∠C＝90°,

∴PN⊥CD;

（2）如圖:過A點作AE∥PB,延長PM至E,

M是AB的中點,易證:△AEN≌△BPM（AAS）,

∵AE∥PB,

∴∠EAP+∠APB＝180°,

而∠DPC+∠APB＝360°﹣90°﹣90°＝180°,

∴∠EAP＝∠DPC,

易證:△DPC≌△PAE（SAS）,

∴∠APE＝∠D,而∠APE+∠DPN＝180°﹣90°＝90°,

即:∠D+∠DPN＝90°,

∴PN⊥CD;

（3）按照（2）的思路易證,

△AEN≌△BPM（AAS）,△DPC≌△PAE（SAS）,

∴PM＝PE,PE＝CD,

∵∠APB＝60°,

∴∠DPC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°,

在△DPC中,PD＝PA＝10,PC＝6,∠DPC＝120°,

易解,PN＝,CD＝14,

而PM＝PE＝CD＝7,

∴MN＝PM+PN＝7+,

即:MN的長為7+．