Question

【題目】如圖所示，點P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結論中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PMPH；⑤EF的最小值是．其中正確結論有（ ）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由點P為BD中點時，MC=0≠MF，可得①錯誤；連接PC，交EF于O，由點P在BD上，可得AP=PC，根據PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四邊形PECF是矩形，可得EF=PC，即判斷②正確；利用SSS可證明△APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形的性質可得∠OCF=∠OFC，即可證明∠DAP=∠OFC，可得∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判斷③正確；根據平行線的性質可得∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可證明△CPM∽△HPC，根據相似三角形的性質可得，根據PC=AP即可判斷④正確，當PC⊥BD時PC的值最小，根據等腰直角三角形的性質可求出PC的最小值為，根據EF=PC即可判斷⑤正確；綜上即可得答案.

當點P為BD中點時，點M與點C重合，MC=0≠MF，故①錯誤，

連接PC，交EF于O，

∵點P在BD上，BD為正方形ABCD的對角線，

∴AP=PC，

∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，

∴四邊形PECF是矩形，

∴EF=PC，

∴AP=EF，故②正確，

∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，

∴△APD≌△CPD，

∴∠DAP=∠DCP，

∵四邊形PECF是矩形，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠DAP=∠OFC，

∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，

∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正確，

∵AD//BH，

∴∠DAP=∠H，

∵∠DAP=∠DCP，

∴∠MCP=∠H，

∵∠CPH為公共角，

∴△CPM∽△HPC，

∴，

∵AP=PC，

∴AP2= PMPH，故④正確，

當PC⊥BD時，PC有最小值，PC=BD=，

∵PC=EF

∴EF的最小值為，故⑤正確，

綜上所述：正確的結論有②③④⑤，共4個，

故選C.