Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸的負半軸上，B點坐標為(6，0)，點C在y軸的負半軸上，且OB=OC，拋物線y=x2+bx+c經過A、B、C三點．

(1)求此拋物線的函數關系式和點A的坐標；

(2)點D的坐標為（0，-2），F為該二次函數圖像上的動點，連接BD、BF，以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，

①若點F為該二次函數在第四象限圖像上的動點，設平行四邊形BDEF的面積為S。求S的最大值。

②在點F的運動過程中，當點E落在一次函數y=x+7上時，求點F的坐標。

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-6 ； A(-3，0)；(2)①32；②F1（-3，0）F2（9，12）

【解析】試題分析：（1）由OC＝OB可得點C的坐標為（0，－6），再將點B、C的坐標代入拋物線y=x2+bx+c中，即可得出拋物線的解析式，當y=0 時，求得x1=-3，x2=6,即點A的坐標為（－3，0）；

（2）①連接OF、DF，設點F的坐標為（t, 2-t-6），根據S四邊形OBFD=S△OBD+S△BDF=SODF+S△OBF求得＝－（t-2）2+16，由四邊形BDEF是平行四邊形得＝，所以當面積最大時，平行四邊形BDEF的面積為S也有最大值.由＝－（t-2）2+16得：當t=2時，S△BDF有最大值＝16，即平行四邊形BDEF的面積S的最大值 為32.

②設E點坐標為（m,m+7），由BD//EF，且BD=EF，則由D（0，-2）平移到B（6，0），則點E（m,m+7）平移到F（m+6,m+9）,將F（m+6,m+9）代入y=x2-x-6得m+9= (m+6)2-(m+6)-6,即可求得m的值，即可求得F的坐標；

試題解析：

（1）∵OB=OC，B點坐標為(6，0)，

∴點C坐標為（0，－6），

∵點B、C在拋物線y=x2+bx+c上，

∴

解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=x2-x-6

當y=0時，即x2-x-6 ＝0，解得x1=-3，x2=6，

所以A(-3，0) .

(2) ①連接OF、DF，如圖所示：

設點F的坐標為（t, 2-t-6）,

∴S△OBD+S△BDF = ,

SODF+S△OBF=

又∵S四邊形OBFD=S△OBD+S△BDF=SODF+S△OBF

∴＝，即＝＝－（t-2）2+16

∵四邊形BDEF是平行四邊形，

∴＝，

∴當面積最大時，平行四邊形BDEF的面積為S也有最大值.

當t=2時，S△BDF有最大值＝16，

∴平行四邊形BDEF的面積S的最大值 為32.

當x=2時，S的最大值為32

②設E點坐標為（m,m+7）,

∵BD//EF，且BD=EF，則由D（0，-2）平移到B（6，0），

∴點E（m,m+7）平移到F（m+6,m+9）,

將F（m+6,m+9）代入y=x2-x-6得m+9= (m+6)2-(m+6)-6,

解得：m1=-9,m2=3,

所以F1（-3，0）或F2（9，12）.