Question

【題目】已知直線AB與CD相交于點O，且∠AOD＝90°，現將一個直角三角尺的直角頂點放在點O處，把該直角三角尺OEF繞著點O旋轉，作射線OH平分∠AOE．

（1）如圖1所示，當∠DOE＝20°時，∠FOH的度數是　 　．

（2）若將直角三角尺OEF繞點O旋轉至圖2的位置，試判斷∠FOH和∠BOE之間的數量關系，并說明理由．

（3）若再作射線OG平分∠BOF，試求∠GOH的度數．

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）∠BOE＝2∠FOH，理由詳見解析；（3）45°或135°．

【解析】

（1）根據∠AOD＝90，∠DOE＝20得∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110，再根據OH平分∠AOE，即可求解；

（2）可以設∠AOH＝x，根據OH平分∠AOE，可得∠HOE＝∠AOH＝x，進而∠FOH＝90﹣∠HOE＝90﹣x，∠BOE＝180﹣∠AOE＝180﹣2x，即可得結論；

（3）分兩種情況解答：當OE落在∠BOD內時，OF落在∠AOD內，當OE落在其他位置時，根據OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解．

解：（1）因為∠AOD＝90，∠DOE＝20

所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110

因為OH平分∠AOE

所以∠HOE＝AOE＝55

所以∠FOH＝90﹣∠HOE＝35；

故答案為35；

（2）∠BOE＝2∠FOH，理由如下：

設∠AOH＝x，

因為OH平分∠AOE

所以∠HOE＝∠AOH＝x

所以∠FOH＝90﹣∠HOE＝90﹣x

∠BOE＝180﹣∠AOE＝180﹣2x

所以∠BOE＝2∠FOH；

（3）如圖3，當OE落在∠BOD內時，OF落在∠AOD內

因為OH平分∠AOE

所以∠HOE＝∠AOH＝AOE

因為OG平分∠BOF

∠FOG＝∠GOB＝BOF

所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH

＝BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）

＝（180﹣∠AOF）﹣AOE+∠AOF

＝90﹣AOF﹣（90+∠AOF）+∠AOF

＝90﹣AOF﹣45﹣AOF+∠AOF

＝45；

所以∠GOH的度數為45；

如圖4，當OE落在其他位置時

因為OH平分∠AOE

所以∠HOE＝∠AOH＝AOE

因為OG平分∠BOF

∠FOG＝∠GOB＝BOF

所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH

＝BOF+∠AOH+∠AOF

＝（180﹣∠AOF）+AOE+∠AOF

＝90﹣AOF+（90﹣∠AOF）+∠AOF

＝90﹣AOF+45﹣AOF+∠AOF

＝135；

所以∠GOH的度數為135；

綜上所述：∠GOH的度數為45或135．