Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線（）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=―2 .

（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）若點P(0,t)是y軸上的一個動點，請進行如下探究：

探究一：如圖1，設△PAD的面積為S，令W＝t·S，當0＜t＜4時，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時t的值；如果沒有，說明理由；

探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點的三角形與Rt△AOC相似？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）y＝x2x+3．D（-2，4）．（2）①當t=3時，W有最大值，W最大值=18．②存在．只存在一點P（0，2）使Rt△ADP與Rt△AOC相似．

【解析】試題分析：（1）根據拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）對稱軸是直線x=，且已知拋物線（）的對稱軸為直線x=―2，故，可求出 a的值，即可寫出拋物線的解析式和頂點坐標；（2）探究一：由拋物線的解析式可求x、y軸的交點的坐標，作軸于M，則，點，由＝可得，，當時，W有最大值，；探究二：分三種情況分析：①當時，作軸于E，則，則，則，則，又因為軸，軸，則，則，，，則此時有，又因為，即，此時，則，所以當時，存在點P1，使，此時P1點的坐標為（0，2）；②當時，則，則，則，又因為，則，所以與不相似，此時點P2不存在；③當時，以AD為直徑作，則的半徑，圓心O1到y軸的距離，因為，所以與y軸相離，不存在點P3，使,
所以綜合可得，只存在一點使與相似。

試題解析：

（1）∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
∴；

（2）探究一：當時，W有最大值，
∵拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，
∴，
∴，
當時，作軸于M，如圖所示：

則，
∵，
∴，
∵
，


∴
∴當時，W有最大值，，
探究二：存在，分三種情況：
①當時，作軸于E，如圖所示：

則，
∴
∴，
∴
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴
∴，，
此時，又因為，
∴，
∴，
∴，
∴當時，存在點P1，使，此時P1點的坐標為（0，2）；
②當時，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與不相似，此時點P2不存在；
③當時，以AD為直徑作，則的半徑，圓心O1到y軸的距離，∵，
∴與y軸相離，不存在點P3，使，
∴綜上所述，只存在一點使與相似。