Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.
（Ⅰ）請寫出AF與BE的數量關系與位置關系分別是什么，并證明.
（Ⅱ）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變為兩個等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）問中的結論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明；

Answer 1

【答案】試題
【解析】（Ⅰ）AF=BE，AF⊥BE. 證明參考（Ⅱ）
（Ⅱ）結論成立.

證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.
在△EAD和△FDC中，
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF +∠BAF=90°，
∴∠ABE +∠BAF=90°，
∴AF⊥BE.
（Ⅰ）根據SAS易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數量關系是AF=BE，位置關系是AF⊥BE； （Ⅱ）成立，證明△ADE≌△DCF，然后證明△ABE≌△ADF即可證得BE=AF，然后根據三角形內角和定理證明∠AMB=90°，從而結論得證.
【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能得出正確答案．