Question

【題目】如圖，二次函數的圖像與軸相交于點A(-1，0)，B(4，0)，與軸相交于點C．

（1）求該函數的表達式；

（2）若點P（2，m）為該函數在第一象限內的圖象上一點，過點P作PQ⊥BC，垂足為點Q，連接PC，求線段PQ的長；

（3）在（2）的條件下，點M為該函數圖象上一點，且∠MAP=45°，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（4，0）.

【解析】

（1）把點A、B代入二次函數的解析式，求出a、b的值，即可得到答案；

（2）作PN⊥x軸與N，交BC于點G，先求出點P和點C，然后得到直線BC的解析式，從而得到點N和點G的坐標，得到PG的長度，然后利用△PQG∽△BOC，即可求出PQ的長度；

（3）連接AP，則得到△APN是等腰直角三角形，則∠PAN=45°，則點M與點B重合，即可得到點M的坐標.

解：（1）根據題意，把點A、B代入拋物線，得

，

解得：，

∴二次函數的解析式為：；

（2）如圖，作PN⊥x軸與N，交BC于點G，

∵點P（2，m）在拋物線上，則

，

令x=0，則y=2，

∴點P為（2，3），點C為（0，2），點N為（2，0），

設直線BC為，則

，解得：，

∴直線BC的解析式為：；

令，，

∴點G的坐標為：（2，1），

∴PG=2，

∵OC∥PN，PQ⊥BC，

∴∠OCB=∠PGQ，∠BOC=∠PQG=90°，

∴△PQG∽△BOC，

∴，

∵BO=4，PG=2，，

∴；

（3）如圖，連接AP，

由（2）可知，點P為（2，3），點N為（2，0），點A為（-1，0），

∴AN=PN=3，

∵PN⊥AN，

∴△APN是等腰直角三角形，

∴∠PAN=45°，

∵點M在拋物線上，且∠MAP=45°，

∴點M與點B重合，此時點M的坐標為（4，0）；

∴點M的坐標為：（4，0）.