Question

（本題滿分10分）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC="6." △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE.AC和BE相交于點O.

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；
（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R.
①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發(fā)生變化？
若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；
②當線段BP的長為何值時，△PQR與△BOC相似？

Answer 1

（1）菱形（證明略）---------------3分
（2）①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化，理由如下：
由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，∴S_△PBO＝ S_△QEO，
∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，
又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，
∴S_{四邊形PQED}＝S_△QEO＋S_{四邊形POED}＝S_△PBO＋S_{四邊形POED}＝S_△BED
＝×BE×ED＝×8×6＝24. ---------------6分
 
②如圖2，當點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時，
∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不與∠3對應，∴∠2與∠1對應，
即∠2＝∠1，∴OP=OC=3， 過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點，△OGC∽△BOC，
∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，
∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.
∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.---------------10分

本題主要考查菱形的有關知識，有一定難度。