Question

如圖①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H．
（1）求證：∠BEC=∠ADC；
（2）請你判斷并FE與FD之間的數量關系，并證明；
（3）如圖②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請問，你在（2）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的性質以及三角形外角的性質得出即可；
（2）首先過點F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，連接BF，根據角平分線的性質，可得FH=FG，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠GEF=75°=∠HDF，又由∠DHF=∠EGF=90°，利用AAS，即可證得△DHF≌△EGF，由全等三角形的對應邊相等，即可證得FE=FD；
（3）過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，根據角平分線的性質，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，繼而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可證得△DMF≌△ENF，由全等三角形的對應邊相等，即可證得FE=FD．

解答：解：（1）∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠DAC=∠DAB=

1

2

∠BAC=15°，∠ACE=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠CDA=∠BAD+∠ABD=75°，∠BEC=∠BAC+∠ECA=75°，
∴∠BEC=∠ADC；

（2）相等，
理由：如圖①，過點F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，連接BF，
∵F是角平分線交點，
∴BF也是角平分線，
∴HF=FG，∠DHF=∠EGF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠HFC=45°，∠HFG=120°，
∴∠GFE=15°，
∴∠GEF=75°=∠HDF，
在△DHF和△EGF中，

∠DHF=∠EGF ∠HDF=∠GEF HF=GF

，
∴△DHF≌△EGF（AAS），
∴FE=FD；

（3）成立．
理由：如圖②，過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，
∵F是角平分線交點，
∴BF也是角平分線，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四邊形BNFM是圓內接四邊形，
∵∠ABC=60°，
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠ABC）=180°-

1

2

（180°-60°）=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，

∠DMF=∠ENF MF=NF ∠DFN=∠NFE

∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE=FD．

點評：此題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．