Question

【題目】如圖，矩形ABCD的兩邊AD、AB的長分別為3、8，邊BC落在x軸上，E是DC的中點，連接AE．

（1）若點B坐標為（﹣6，0），求直線AE的表達式；

（2）反比例函數y＝（x＜0）的圖象經過點E，與AB交于點F，若AF﹣AE＝2，求反比例函數的表達式；

（3）在（2）的條件下，連接矩形ABCD兩對邊AD與BC的中點M、N，設線段MN與反比例函數圖象交于點P，將線段MN沿x軸向右平移n個單位，若MP＜NP，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x；（2）y＝﹣；（3）＜n≤2．

【解析】

（1）由矩形的性質結合點B的坐標，可得出點A，E的坐標，再利用待定系數法即可求出直線AE的表達式；（2）由DC的長結合反比例函數圖象上點的坐標特征，可得出點E的坐標為（，4），在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的長，結合AF﹣AE＝2可得出AF的長，由BC＝3可得出點F的坐標為（﹣3，1），再利用反比例函數圖象上點的坐標特征，可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，進而可得出反比例函數的表達式；（3）由（2）可得出點M，N的坐標，結合平移的性質可得出平移后點M，N的坐標，設設點P的坐標為（﹣+n，y），由點P在MN上且MP＜NP，可得出y的取值范圍，利用反比例函數圖象上點的坐標特征，可得出關于n的一元一次不等式組，解之即可得出n的取值范圍．

（1）由題意，可知：點A的坐標為（﹣6，8），點E的坐標為（﹣3，4）．

設直線AE的表達式為y＝kx+b（k≠0），

將A（﹣6，8），E（﹣3，4）代入y＝kx+b，得： ，

解得：，

∴當點B的坐標為（﹣6，0）時，直線AE的表達式為y＝﹣x．

（2）∵反比例函數y＝的圖象經過點E，E是DC的中點，DC＝8，

∴點E的坐標為（，4）．

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝4，∠ADE＝90°，

∴AE＝＝5．

∵AF﹣AE＝2，

∴AF＝7，

∴BF＝AB﹣AF＝1，

∴點F的坐標為（﹣3，1）．

∵點F在反比例函數y＝的圖象上，

∴﹣3＝m，

解得：m＝﹣4，

∴反比例函數的表達式為y＝﹣．

（3）由（2）可知：點B的坐標為（﹣4，0），點C的坐標為（﹣1，0），

∴點M的坐標為（﹣，8），點N的坐標為（﹣，0），

∴平移后的點M的坐標為（﹣+n，8），平移后點N的坐標為（﹣+n，0）．

設點P的坐標為（﹣+n，y），∵點P在MN上，且MP＜NP，

∴4＜y≤8．

∵點P在反比例函數y＝﹣的圖象上，

∴，

解得：＜n≤2．