Question

【題目】發現問題：如圖1，直線a∥b，點B、C在直線b上，點D為AC的中點，過點D的直線與a，b分別相交于M、N兩點，與BA的延長線交于點P，若△ABC的面積為1，則四邊形AMNB的面積為 ；

探究問題：如圖2，Rt△ABC中，∠DAC=∠BAC，DA=2，求△ABC面積的最小值；

拓展應用：如圖3，矩形花園ABCD的長AD為400米，寬CD為300米，供水點E在小路AC上，且AE=2CE，現想沿BC上一點M和CD上一點N修一條小路MN，使得MN經過E，并在四邊形AMCN圍城的區域內種植花卉，剩余區域鋪設草坪根據項目的要求種植花卉的區域要盡量小．請根據相關數據求出四邊形AMCN面積的最小值，及面積取最小時點M、N的位置．（小路的寬忽略不計）

Answer 1

【答案】發現問題： S四邊形AMNB =1；探究問題：當BC與GE重合時，△ABC的面積最小，最小值為2；拓展應用：四邊形AMCN的面積的最小值=80000平方米，此時CM=CF=GH=米，CN=CH=200米

【解析】

發現問題：證明△ADM≌△CDN（ASA），即可解決問題；

探究問題：如圖2中，延長AD到F，使得DF=DA，作FG⊥AB于G，FE⊥AC交AC的延長線于E，利用矩形是中心對稱圖形，過對稱中心的直線平分矩形的面積解決問題即可；

拓展應用：如圖3中，取AE的中點G，作GH⊥CD于H，GF⊥BC于F，連接FH．首先證明S四邊形AMCN=3S△CMN，當△CMN的面積最小時，四邊形AMCN的面積最小，利用探究問題中的方法解決問題即可．

發現問題：如圖1中，

∵a∥b，

∴∠MAD=∠NCD，

∵AD=DC，∠ADM=∠CDN，

∴△ADM≌△CDN（ASA），

∴S△ADM=S△CDN，

∴S四邊形AMNB=S△ABC=1，

故答案為1．

探究問題：如圖2中，延長AD到F，使得DF=DA，作FG⊥AB于G，FE⊥AC交AC的延長線于E，

∵∠FEA=∠FGA=∠GAE=90°，

∴四邊形AEFG是矩形，

∵∠DAC=∠BAC=30°，AD=DF=2，

∴AF=4，EF=AF=2，AE=EF=2，

∴S矩形AEFG=4，

∵矩形AEFG是中心對稱圖形，D是對稱中心，

∴過點D的任意直線平分矩形AEFG的面積，

∴S四邊形ACGH=S矩形ABCD=2，

∵S△ABC≥S四邊形ACHG，

∴S△ABC≥2，

∴當BC與GE重合時，△ABC的面積最小，最小值為2．

拓展應用：如圖3中，取AE的中點G，作GH⊥CD于H，GF⊥BC于F，連接FH．

易知四邊形GHCF是矩形，

∵AE=2EC，AG=EG，

∴EC=EG，

∴點E在FH上，

∵AC=3EC，

∴S△ACM=3S△ECM，S△ACN=3S△ECN，

∴S四邊形AMCN=3S△CMN，

∴當△CMN的面積最小時，四邊形AMCN的面積最小，

∵矩形CFGH是中心對稱圖形，

由探究問題可知：當MN與FH重合時，△MCN的面積最小，

AC==500（米），

∴CG=×500=（米），

∵GH∥AD，

∴，

∴，

∴GH=（米），CH=200（米），

∴△MCN的面積的最小值=（平方米），

∴四邊形AMCN的面積的最小值=80000（平方米），此時CM=CF=GH=（米），CN=CH=200（米）