Question

（2012•增城市一模）已知點A（-1，-1）在拋物線y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1（其中x是自變量）上．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）若B點與A點關于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只交于一點B的直線？如果存在，求符合條件的直線解析式；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A坐標代入拋物線解析式，計算求出k的值，再根據拋物線對稱軸x=-

b

2a

進行計算即可得解；
（2）先根據對稱性求出點B的坐標，再分直線過點B且與y軸平行時，與拋物線只有一個交點，直線過點B不與y軸平行時，設直線解析式為y=mx+n，把點B的坐標代入解析式得到一個關于m、n的方程，再與拋物線解析式聯立消掉y，得到關于x的一元二次方程，根據只有一個交點，利用根的判別式△=0，列式整理得到一個關于m、n的方程，兩個方程聯立求解即可得到m、n的值，從而求出直線解析式．

解答：解：（1）已知點A（-1，-1）在已知拋物線上，
則（k²-1）+2（k-2）+1=-1，
即k²+2k-3=0，
解得 k₁=1，k₂=-3，…分
當k=1時，函數y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1為一次函數，不合題意，舍去，
當k=-3時，拋物線的解析式為y=8x²+10x+1，…（4分）
由拋物線的解析式知其對稱軸為x=-

b

2a

=-

10

2×8

=-

5

8

，
即x=-

5

8

；…（5分）

（2）存在．
理由如下：∵點B與點A關于y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1對稱，且A（-1，-1），
∴B（-

1

4

，-1），…（6分）
當直線過B（-

1

4

，-1）且與y軸平行時，此直線與拋物線只有一個交點，
此時的直線為x=-

1

4

，…（8分）
當直線過B（-

1

4

，-1）且不與y軸平行時，
設直線y=mx+n與拋物線y=8x²+10x+1只交于一點B，
則-

1

4

m+n=-1，…（10分）
即m-4n-4=0，①
把y=mx+n代入y=8x²+10x+1，得8x²+10x+1=mx+n，…（11分）
即8x²+（10-m）x+1-n=0，…（12分）
由8x²+（10-m）x+1-n=0，△=0，得（10-m）²-32（1-n）=0，②
由①，②得

m=6 n= 1 2

故所求的直線為y=6x+

1

2

，
綜上所述，存在與拋物線只交于一點B的直線x=-

1

4

或y=6x+

1

2

．…（14分）

點評：本題考查了二次函數的性質，拋物線的對稱軸的求解，拋物線與直線的交點問題，以及根的判別式的應用，本題主要要分情況討論．