Question

18．圖形在折疊過程中會形成相等的邊和相等的角，下面是同學們在數學課上所做的三角形、四邊形折疊實驗，請根據實驗過程解決問題：
問題（一）
如圖①，一張三角形ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點．
研究（1）：如果沿直線DE折疊，使A點落在CE上，則∠BDA′和∠A的數量關系是∠BDA=2∠A；
研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數量關系是∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數量關系，并說明理由．
問題（二）
研究（4）：將問題（一）推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數量關系是∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．（直接寫出結論）

Answer 1

分析 （1）根據三角形的外角的性質以及折疊的特點即可得到結論；
（2）連接AA′，根據三角形的外角的性質即可得到結論；
（3）連接AA′構造等腰三角形，然后結合三角形的外角性質進行探討證明；
（4）根據平角的定義以及四邊形的內角和定理進行探討．

解答 解：（1）∵根據折疊的性質可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，
′∴∠BDA=2∠A．
故答案為：∠BDA=2∠A；

（2）由圖形折疊的性質可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，
①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE
即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），
故∠BDA′+∠CEA′=2∠A．
故答案為：∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
證明如下：
連接AA′構造等腰三角形，
∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，
得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，

（4）如圖④，由圖形折疊的性質可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，
兩式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）
即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），
所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．
故答案為：∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

點評 本題考查的是翻折變換，注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運用三角形的內角和定理及其推論進行證明．