Question

8．已知點E為⊙O內任意一點，AB為過點E的任意一點弦，CD為過點E的另外一條弦，
（1）求證：AE•BE=CE•DE．
（2）求證：AE•BE是一個定值．

Answer 1

分析 （1）根據同弧所對的圓周角相等，可證明△AEC∽△DEB，由相似三角形的性質可解．
（2）利用（1）中的結論可知，AE•EB=EM•EN=（r+oE）（r-OE）=r²-OE²，由此只要說明OE，r是定值即可．

解答 證明：（1）∵∠AEC=∠DEB，∠CAE=∠BDE，
∴△AEC∽△DEB．，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{CE}{BE}$
∴AE•BE=CE•DE．

（2）過點E作直徑MN，設半徑為r，
由（1）可知，AE•EB=EM•EN=（r+oE）（r-OE）=r²-OE²，
∵點E是定點，
∴OE是定值，∵r也是定值，
∴r²-OE²是定值，
∴AE•BE是一個定值．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、圓周角定理等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的性質解決問題，屬于中考常考題型．