Question

【題目】如圖，在三角形ABC中，AB=AC，點D在△ABC內，且∠ADB=90°．

（1）如圖1，若∠BAD=30°，AD=3，點E、F分別為AB、BC邊的中點，連接EF，求線段EF的長；

（2）如圖2，若△ABD繞頂點A逆時針旋轉一定角度后能與△ACG重合，連接GD并延長交BC于點H，連接AH，求證：∠DAH=∠DBH．

Answer 1

【答案】（1）EF =3；（2）證明見解析.

【解析】

(1) 設BD=x，則AB=2x，由勾股定理得：，求出AB,再根據中位線性質求出EF;

(2) 在GH上取一點M，使GM=DH，由性質性質得△ADB≌△AGC，再證△CGM≌△BDH，得CM=BH，∠GCM=∠DBH，因為∠CMH=∠MGC+∠MCG，∠CHM=∠BDH+∠DBH，

所以∠CMH=∠CHM，可得CM=CH=BH，又AC=AB，所以AH⊥BC，∠AHB=90°=∠ADB，

又∠AOD=∠BOH，故∠DAH=∠DBH．

（1）解：如圖1，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，

∴AB=2BD，

設BD=x，則AB=2x，

由勾股定理得：，

x=3或﹣3（舍），

∴AB=2x=6，

∵AC=AB=6，

∵點E、F分別為AB、BC邊的中點，

∴EF=AC=3；

（2）證明：如圖2，由旋轉得：△ADB≌△AGC，

∴AG=AD，∠AGC=∠ADB=90°，CG=BD，

∴∠AGD=∠ADG，

∵∠ADB=90°，

∴∠ADG+∠BDH=90°，

∵∠AGD+∠MGC=90°，

∴∠MGC=∠BDH，

在GH上取一點M，使GM=DH，

∴△CGM≌△BDH，

∴CM=BH，∠GCM=∠DBH，

∵∠CMH=∠MGC+∠MCG，∠CHM=∠BDH+∠DBH，

∴∠CMH=∠CHM，

∴CM=CH=BH，

∵AC=AB，

∴AH⊥BC，即∠AHB=90°=∠ADB，

∵∠AOD=∠BOH，

∴∠DAH=∠DBH．