Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A(4，0)，與y軸交于點B(0，4)，在x軸上有一動點D9(m，0)（0＜m＜4），過點D作x軸的垂線交直線AB于點C，交拋物線于點E，

（1）直接寫出拋物線和直線AB的函數表達式．

（2）當點C是DE的中點時，求出m的值，并判定四邊形ODEB的形狀（不要求證明）．

（3）在（2）的條件下，將線段OD繞點O逆時針旋轉得到OD′，旋轉角為α（0°＜a＜90°），連接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；y＝﹣x+4；（2）m＝2，四邊形ODEB為矩形；（3）

【解析】

（1）利用待定系數法求出拋物線解析式和直線AB的解析式即可；

（2）可得E（m，），C（m，﹣m+4）．表示出EC的長，根據EC＝CD可得出關于m的方程，解方程求出m的值即可；

（3）在y軸上取一點M′使得OM′＝1，連接AM′，在AM′上取一點D′使得OD′＝OD．證明△M′OD′∽△D′OB，即可求解．

（1）將點B、A的坐標代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得，

，

解得：，

∴拋物線的函數表達式為y＝﹣．

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4；

（2）∵過點D（m，0）（0＜m＜4）作x軸的垂線交直線AB于點C，交拋物線于點E，

∴E（m，），C（m，﹣m+4）．

∴EC＝＝．

∵點C是DE的中點，

∴．

解得：m＝2，m＝4（舍去）．

∴ED＝OB＝4，

∴四邊形ODEB為矩形．

（3）如圖，由（2）可知D（2，0），在y軸上 取一點M′使得OM′＝1，連接AM′，在AM′上取一點D′使得OD′＝OD．

∵OD′＝2，OM′OB＝1×4＝4，

∴OD′2＝OM′OB，

∴，

∵∠BOD′＝∠M′OD′，

∴△M′OD′∽△D′OB，

∴．

∴．

∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此時D′A+D′B最�。▋牲c間線段最短，A、M′、D′共線時），

∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．