Question

【題目】如圖，點的坐標為，過點作軸的平行線交軸于點，交雙曲線于點，作交雙曲線于點，連接、，已知．

求的值．

求的面積．

試判斷與是否相似，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；不相似，理由見解析.

【解析】

（1）過N作NB垂直于x軸，垂足為B，由P的坐標得到AP的長，根據AP+PN=AN，求出AN的長，即為N的橫坐標，又AN與x軸平行，得到N與P的縱坐標相等，由P的縱坐標得到N的縱坐標，確定出點N的坐標，將N的坐標代入雙曲線解析式即可求出k的值；

（2）要求三角形APM的面積，由題意可知三角形APM為直角三角形，只需求出直角邊PM和AP即可求出．AP為P的橫坐標的值，顯然得出，PM為M的縱坐標減去P的縱坐標，延長MP與x軸交于Q點，由PM與AN垂直，得到MQ垂直于x軸，故得到M與P的橫坐標相等，由P的橫坐標得到M的橫坐標，代入反比例解析式求出縱坐標，得到MQ的長，進而求出MP的長，利用直角邊乘積的一半即可求出三角形APM的面積；

（3）不相似，理由為：由題意可知三角形APM為直角三角形，根據（2）求出的AP及MP的長，利用勾股定理求出AM的長，再由三角形PMN為直角三角形，由MP與PN的長，利用勾股定理求出MN的長，根據MN2+AM2≠AN2，得到三角形AMN不是直角三角形，故兩三角形不可能相似．

（1）過N作NB⊥x軸，交x軸于點B．

∵AN∥x軸，∴P與N縱坐標相等，又AP=2，PN=4，∴AN=AP+PN=2+4=6．

∵P，∴N點坐標為（6，），把N代入解析式y=中，得：k=×6=9；

（2）延長MP，延長線與x軸交于Q點．

∵PM⊥AN，AN∥x軸，∴MQ⊥x軸，∴P和Q的橫坐標相等，即Q的橫坐標為2，把x=2代入反比例解析式y=中得：y=，則MP=MQ﹣PQ=﹣=3，又AP=2，∴S△APM=MPAP=×3×2=3；

（3）不相似，理由為：

∵△APM為直角三角形，AP=2，MP=3，根據勾股定理得：AM==，又△PMN為直角三角形，PM=3，PN=4，根據勾股定理得：MN==5．

∵MN2+AM2≠AN2，即∠AMN≠90°，∴△AMN不是直角三角形，而△APM為直角三角形，則△APM與△AMN不相似．