Question

如圖，已知拋物線ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4與ｘ軸相交于點A和點B，與ｙ軸相交于點D（0，8），直線DC平行于ｘ軸，交拋物線于另一點C，動點P以每秒2個單位長度的速度從C點出發，沿C→D運動，同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿A→B運動，連接PQ、CB，設點P運動的時間為t秒．

（１）求ａ的值；（２）當四邊形ODPQ為矩形時，求這個矩形的面積；（３）當四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值．（４）當t為何值時，△PBQ是等腰三角形？（直接寫出答案）

Answer 1

（１）8（２）（３）（４）解析:
解：（１）∵拋物線ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4經過點（0，8）
∴ａ－4ａ－4＝8
解得：ａ＝6，ａ＝－2（不合題意，舍去）
∴ａ的值為6
（２）由（１）可得拋物線的解析式為
ｙ＝ｘ－6ｘ＋8
當ｙ＝0時，ｘ－6ｘ＋8＝0
解得：ｘ＝2，ｘ＝4
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為（4，0）
當ｙ＝8時，
ｘ＝0或ｘ＝6
∴D點的坐標為（0，8），C點坐標為（6，8）
DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ
當四邊形OQPD為矩形時，DP＝OQ
2＋t＝6－2t，t＝，OQ＝2＋＝
S＝8×＝
即矩形OQPD的面積為
（３）四邊形PQBC的面積為，當此四邊形的面積為14時，
（2－t＋2t）×8＝14
解得t＝（秒）
當t＝時，四邊形PQBC的面積為14
（４）過點P作PE⊥AB于E，連接PB，
當QE=BE時，△PBQ是等腰三角形，
∵CP=2t，
∴DP=6-2t，
∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，
∵OQ=2+t，
∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，
∴4-3t=2t-2，
解得：t=  ，
∴當t=  時，△PBQ是等腰三角形
t＝時，PBQ是等腰三角形．
（1）把點D（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4解方程即可解答；
（2）利用（1）中求得的拋物線，求得點A、B、C、D四點坐標，再利用矩形的判定與性質解得即可；
（3）利用梯形的面積計算方法解決問題；
（4）只考慮PQ=PB，其他不符合實際情況，即可找到問題的答案