Question

如圖，已知拋物線ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4與ｘ軸相交于點A和點B，與ｙ軸相交于點D（0，8），直線DC平行于ｘ軸，交拋物線于另一點C，動點P以每秒2個單位長度的速度從C點出發，沿C→D運動，同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿A→B運動，連接PQ、CB，設點P運動的時間為t秒．

（１）求ａ的值；（２）當四邊形ODPQ為矩形時，求這個矩形的面積；（３）當四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值．（４）當t為何值時，△PBQ是等腰三角形？（直接寫出答案）

 

Answer 1

（１）8（２）（３）（４）

解析:解：（１）∵拋物線ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4經過點（0，8）

∴ａ－4ａ－4＝8

解得：ａ＝6，ａ＝－2（不合題意，舍去）

∴ａ的值為6

（２）由（１）可得拋物線的解析式為

ｙ＝ｘ－6ｘ＋8

當ｙ＝0時，ｘ－6ｘ＋8＝0

解得：ｘ＝2，ｘ＝4

∴A點坐標為（2，0），B點坐標為（4，0）

當ｙ＝8時，

ｘ＝0或ｘ＝6

∴D點的坐標為（0，8），C點坐標為（6，8）

DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ

當四邊形OQPD為矩形時，DP＝OQ

2＋t＝6－2t，t＝，OQ＝2＋＝

S＝8×＝

即矩形OQPD的面積為

（３）四邊形PQBC的面積為，當此四邊形的面積為14時，

（2－t＋2t）×8＝14

解得t＝（秒）

當t＝時，四邊形PQBC的面積為14

 

（４）過點P作PE⊥AB于E，連接PB，

當QE=BE時，△PBQ是等腰三角形，

∵CP=2t，

∴DP=6-2t，

∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，

∵OQ=2+t，

∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，

∴4-3t=2t-2，

解得：t=  ，

∴當t=  時，△PBQ是等腰三角形

t＝時，PBQ是等腰三角形．

（1）把點D（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4解方程即可解答；

（2）利用（1）中求得的拋物線，求得點A、B、C、D四點坐標，再利用矩形的判定與性質解得即可；

（3）利用梯形的面積計算方法解決問題；

（4）只考慮PQ=PB，其他不符合實際情況，即可找到問題的答案