Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AE、DE分別平分∠BAD、∠ADC，E點在BC上．

（1）求證：BC＝2AB；

（2）若AB＝3cm，∠B＝60°，一動點F以1cm/s的速度從A點出發，沿線段AD運動，CF交DE于G，當CF∥AE時：

①求點F的運動時間t的值；②求線段AG的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①t＝3（秒）；②AG＝．

【解析】

(1)先判斷出∠DAE=∠AEB,再判斷出∠DAE=∠BAE,進而得出∠BAE=∠AEB,即可判斷出AB=BE同理:判斷出CE=AB,即可得出結論

(2)①先判斷出四邊形AECF是平行四邊形,進而求AF=3,即可得出結論

②先判斷出△ABE是等邊三角形,進而求出∠AEB=60°,AE=3cm,再判斷出∠DCF=∠ECF,即可判斷出∠CGE=90°,最后用勾股定理即可得出結論.

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，

同理：CE＝CD，

∴BE＝CE＝AB，

∴BC＝BE+CD＝2AB；

（2）①由（1）知，CE＝CD＝AB，

∵AB＝3cm，

∴CE＝3cm，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF＝CE＝3cm，

∴點F的運動時間t＝3÷1＝3（秒）；

②由（1）知AB＝BE，

∵∠B＝60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠AEB＝60°，AE＝AB＝3cm，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B+∠BCD＝180°，

∵∠B＝60°，

∴∠BCD＝120°，

∵AE∥CF，

∴∠ECF＝∠AEB＝60°，

∴∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝60°＝∠ECF，

由（1）知，CE＝CD＝AB＝3cm，

∴CF⊥DE，

∴∠CGE＝90°，

在Rt△CGE中，∠CEG＝90°﹣∠ECF＝30°，CG＝ CE＝ ，

∴EG＝ CG＝ ，

∵∠AEB＝60°，∠CEG＝30°，

∴∠AEG＝90°，

在Rt△AEG中，AE＝3，根據勾股定理得，AG＝．