Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且AC平分∠BAD，點E為AB的延長線上一點，且∠ECB=∠CAD．

（1）①填空：∠ACB= ，理由是 ；

②求證：CE與⊙O相切；

（2）若AB=6，CE=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】(1)①90°；直徑所對的圓周角是直角；②證明詳見解析；(2)2.

【解析】

試題分析：（1）①根據圓周角定理即可求得；

②連接OC．欲證明CE是⊙O的切線，只需證明CE⊥OC即可；

（2）根據弦切角定理求得BE，進一步求得AC=4，得出△ACE和△BCE是等腰三角形，得出BC=BE=2，進一步證得∠DAB=∠ABC，從而證得AD=BC=2．

試題解析：①∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

故答案為：90°；直徑所對的圓周角是直角；

②連接OC，則∠CAO=∠ACO，

∵AC平分∠BAB，

∴∠BAC=∠CAD，

∵∠ECB=∠CAD．

∴∠BAC=∠ECB．

∴∠ECB=∠ACO，

∵∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠ECB+∠OCB=90°，即CE⊥OC．

∴CE與⊙O相切；

（2）∵CE與⊙O相切，

∴=BEAE，

∵AB=6，CE=4，

∴=BE（BE+6），

∴BE=2，

∴AE=6+2=8，

∵△ACE∽△CBE，

∴，即，

∴AC=4，

∴AC=CE=4，

∴∠CAB=∠E，

∴∠ECB=∠E，

∴∠ABC=2∠ECB=2∠BAC，BC=BE=2，

∴∠DAB=∠ABC，

∴AD=BC=2．