Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE．

（1）求證：DB=DE；
（2）求證：直線CF為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E是△ABC的內心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
（2）證明：連接CD．

∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線
【解析】（1）三角形的三內角平分線交于一點。該點叫做三角形的內心。根據三角形的內心的定義可得∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，再根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和可得∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，結合已知條件可證得∠DBE=∠DEB，由等角對等邊可得DB=DE。
（2）連接CD，要證CF是⊙O的切線，只須證∠BCF=90°，根據已知條件DA平分∠BAC可證BD=CD，結合已知BD=DF可得CD=DB=DF，則∠BCF=90°，結論可得。