Question

【題目】問題探究：
（1）如圖①，邊長為4的等邊△OAB位于平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB折疊，使點(diǎn)B落在OA的中點(diǎn)處，則折痕長為；

（2）如圖②，矩形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中，其中OA=8，AB=6，將矩形沿線段MN折疊，點(diǎn)B落在x軸上，其中AN= AB，求折痕MN的長；

（3）如圖③，四邊形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中，其中OA=AB=6，CB=4，BC∥OA，AB⊥OA于點(diǎn)A，點(diǎn)Q（4，3）為四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，將四邊形折疊，使點(diǎn)B落在x軸上，問是否存在過點(diǎn)Q的折痕，若存在，求出折痕長，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）

解：如圖2中，B的對(duì)稱點(diǎn)B′，折痕為MN，MN交BB′于H

∵AN= AB=2，

∴NB=NB′=4，

在Rt△ANB′中，AB′= =2 ，

∴OB′=8﹣2 ，

∴點(diǎn)B′（8﹣2 ，0），

∵B（8，6），

∴BB′中點(diǎn)H（8﹣ ，3），∵點(diǎn)N坐標(biāo)（8，2），

設(shè)直線NH解析式為y=kx+b，則有 解得 ，

∴直線NH解析式為y=﹣ x+2+ ，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)（0，2+ ），

∴MN= =

（3）

解：存在．

理由：如圖3中，延長BQ交OA于B″，連接AQ，過點(diǎn)Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．

∵Q（4，3），

∴N（6，3），

∴BN=AN．QB=QB″，

作BB″的垂直平分線PF，交OC于P，交AB于F，此時(shí)B、B″關(guān)于直線PF對(duì)稱，滿足條件，

在Rt△ABB″中，∵∠BAB″=90°，BQ=QB″，

∴AQ=QB，

∴此時(shí)B、A（B′）關(guān)于直線MN對(duì)稱，滿足條件．

∵C（2，6），

∴直線OC解析式為y=3x，

∵NM∥OA，BN=NA，

∴CM=OM，

∴點(diǎn)M（1，3），

∴MN=5（過M做MM'⊥BA于M'，利用△BB'A中AB'=2√3，AB=6，所以∠B'BA=30°，進(jìn)而推導(dǎo)∠M'MN=30°，求得MN結(jié)果更快�。�

∵B（6，6），B″（2，0），

∴可得直線BB″的解析式為y= x﹣3，

∴過點(diǎn)Q垂直BB″的直線PF的解析式為y=﹣ x+ ，

由 解得 ，

∴點(diǎn)P（ ， ），F(xiàn)（6， ），

∴PF= = ，

綜上所述，折痕的長為5或

【解析】解：（1）如圖1中，B的對(duì)稱點(diǎn)B′，折痕為MN，MN交BB′于H．

∵△ABC是等邊三角形，OB′=B′A，
∴BB′⊥OA，又∵BB′⊥MN，
∴MN∥OA，∵BH=HB′，
∴BM=OM，BN=NA，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN= OA=2．
故答案為2．
（1）如圖1中，B的對(duì)稱點(diǎn)B′，折痕為MN，MN交BB′于H．只要證明折痕是△ABC的中位線即可．（2）如圖2中，B的對(duì)稱點(diǎn)B′，折痕為MN，MN交BB′于H，求出直線MN的解析式即可解決問題．（3）存在．如圖3中，延長BQ交OA于B″，連接AQ，過點(diǎn)Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．可以證明線段MN計(jì)算折痕；作BB″的垂直平分線PF，交OC于P，交AB于F，此時(shí)B、B″關(guān)于直線PF對(duì)稱，線段PF也是折痕．分別求出MN、PF即可解決問題．