Question

【題目】如圖，在矩形 OABC中，OA=3，OC=5，分別以 OA、OC所在直線為x 軸、y 軸，建立平面直角坐標系，D是邊CB上的一個動點（不與C、B重合），反比例函數y=（k＞0）的圖象經過點D且與邊BA交于點E，連接DE．

（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k=
（2）連接CA，DE與CA是否平行？請說明理由：
（3）是否存在點D，使得點B關于DE的對稱點在OC上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由：

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）

解：連接AC，如圖1，

設D（x，5），E（3，），則BD=3﹣x，BE=5﹣，=,=，∴=∴DE∥AC．

（3）

解：假設存在點D滿足條件．設D（x，5），E（3，），則CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足為F，如圖2，

易證△B′CD∽△EFB′，∴，即=，∴B′F=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，

∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，

（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，解這個方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，∴滿足條件的點D存在，D的坐標為D（0.96，5）．

【解析】（1）連接OE，如，圖1，∵Rt△AOE的面積為2，∴k=2×2=4．
（1）連接OE，根據反比例函數k的幾何意義，即可求出k的值；（2）連接AC，設D（x，5），E（3，），則BD=3﹣x，BE=5﹣，得到=，從而求出DE∥AC．（3）假設存在點D滿足條件．設D（x，5），E（3，），則CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足為F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根據對稱性求出B′E、B′D的表達式，列出 ， 即= ， ， 從而求出（5﹣）2+x2=（3﹣x）2 ， 即可求出x值，從而得到D點坐標．