Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，以⊙O的弦AB為直徑作⊙M，點C是⊙O優弧上的一個動點（不與點A、點B重合）．連接AC、BC，分別與⊙M相交于點D、點E，連接DE．若AB=2．
（1）求∠C的度數；
（2）求DE的長；
（3）如果記tan∠ABC=y，=x（0＜x＜3），那么在點C的運動過程中，試用含x的代數式表示y．

Answer 1

解：（1）如圖：連接OB、OM．
則在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=，∴OM=1．
∵OM=，∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
連接OA．則∠AOB=120°．
∴∠C=∠AOB=60°．

（2）∵四邊形ABED內接于⊙M，
∴∠CBA+∠ADE=180°，
∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠CDE=∠CBA，
在△CDE和△CBA中，
∵∠CDE=∠CBA，∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，∴．
連接BD，則∠BDC=∠ADB=90°．
在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠CBD=30°．∴BC=2DC．
∴．即．
∴DE==×2=．

（3）連接AE．
∵AB是⊙M的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°．
由，可得AD=x•DC，AC=AD+DC=（x+1）•DC．
在Rt△ACE中，∵cos∠ACE=，sin∠ACE=，
∴CE=AC•cos∠ACE=（x+1）•DC•cos60°=；
AE=AC•sin∠ACE=（x+1）•DC•sin60°=．
又由（2），知BC=2DC．
∴BE=BC-CE=．
在Rt△ABE中，tan∠ABC=，
∴（0＜x＜3）．
分析：（1）根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，連OM，OB，可求出∠BOM的度數，∠C=∠BOM．
（2）根據圓內接四邊形一外角等于它的內對角，可證明△CDE∽△CBA，兩三角形相似對應線段成比例，同時運用（1）中∠C=60°可得的值，能計算出DE的長．
（3）根據直徑所對的圓周角是直角，連接AE，在直角三角形中用三角函數可求出y與x之間的關系．
點評：本題考查圓周角與圓心角之間的關系，園中相似三角形的運用，以及由直徑所對的圓周角是直角可得直角三角形，在直角三角形中對三角函數的靈活運用．