Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C是AB的中點，∠ECD繞點C按順時針旋轉，且∠ECD=45°,∠ECD的一邊CE交y軸于點F,開始時另一邊CD經過點O,點G坐標為（-2,0),當∠ECD旋轉過程中，射線CD與x軸的交點由點O到點G的過程中，則經過點B、C、F三點的圓的圓心所經過的路徑長為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先確定點B、A、C的坐標，①當點G在點O時，點F的坐標為（0,2），此時點F、B、C三點的圓心為BC的中點，坐標為（1,3）；②當直線OD過點G時，利用相似求出點F的坐標，根據圓心在弦的垂直平分線上確定圓心在線段BC的垂直平分線上，故縱坐標為，利用兩點間的距離公式求得圓心的坐標，由此可求圓心所走的路徑的長度.

∵直線與x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴B(0,4),A(4,0),

∵點C是AB的中點，

∴C(2,2),

①當點G在點O時，點F的坐標為（0,2），此時點F、B、C三點的圓心為BC的中點，坐標為（1,3）；

②當直線OD過點G時，如圖，

連接CN,OC,則CN=ON=2，∴OC=,

∵G(-2，0),

∴直線GC的解析式為：，∴直線GC與y軸交點M(0，1),

過點M作MH⊥OC,∵∠MOH=45，∴MH=OH=,

∴CH=OC-OH=,

∵∠NCO=∠FCG=45,∴∠FCN=∠MCH,

又∵∠FNC=∠MHC,

∴△FNC∽△MHC,

∴,即，得FN=,∴F(,0),

此時過點F、B、C三點的圓心在BF的垂直平分線上，設圓心坐標為（x，），

則，解得，

當∠ECD旋轉過程中，射線CD與x軸的交點由點O到點G的過程中，則經過點B、C、F三點的圓的圓心所經過的路徑為線段，即由BC的中點到點（，），

∴所經過的路徑長=.

故選：A.