Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線相交于點A，B．已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）．
（1）求實數a，b，k的值；
（2）如圖2，過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△COE∽△BOA的點E的坐標（提示：C點的對應點為B）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A的坐標，易求得k的值，進而可確定雙曲線的解析式；可根據雙曲線的解析式設出點B的坐標，根據A、B的坐標，可得到直線AB的解析式，進而可得到此直線與y軸交點（設為M）坐標，以OM為底，A、B縱坐標差的絕對值為高，即可表示出△BOA的面積，已知此面積為3，即可求得點B的坐標，從而利用待定系數法求得拋物線的解析式，即可得到a、b、k的值．
（2）易求得B（-2，-2），C（-4，-4），若設拋物線與x軸負半軸的交點為D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于兩個三角形無法發生直接聯系，可用旋轉的方法來作輔助線；
①將△BOA繞點O順時針旋轉90°，此時B₁（B點的對應點）位于OC的中點位置上，可延長OA至E₁，使得OE=2OA₁，那么根據三角形中位線定理即可得到B₁A₁∥CE，那么E1就是符合條件的點E，A₁的坐標易求得，即可得到點E₁的坐標；
②參照①的方法，可以OC為對稱軸，作△B₁OA₁的對稱圖形△B₁OA₂，然后按照①的思路延長OA₂至E₂，即可求得點E₂的坐標．
解答：解：（1）∵反比例函數經過A（1，4），
∵k=1×4=4，即y=；
設B（m，），已知A（1，4），可求得
直線AB：y=-x+4+；
∵S_△BOA=×（4+）×（1-m）=3，
∴2m²+3m-2=0，
即m=-2（正值舍去）；
∴B（-2，-2）．
由于拋物線經過A、B兩點，則有：
，
解得；
∴y=x²+3x．
故a=1，b=3，k=4．

（2）設拋物線與x軸負半軸的交點為D；
∵直線AC∥x軸，且A（1，4），
∴C（-4，4）；
已求得B（-2，-2），則有：
∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；
①將△BOA繞點O順時針旋轉90°得到△B₁OA₁，作AM⊥x軸于M，作A₁N⊥x軸于N．
∵A的坐標是（1，4），即AM=4，OM=1，
∵∠AOM+∠NOA₁=90°，∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA₁，
又∵OA=OA₁，∠AMO=∠A₁NO
∴△AOM≌△OA₁N，
∴A₁N=OM=1，ON=AM=4
∴A₁的坐標是（4，-1），
此時B₁是OC的中點，延長OA₁至E₁，使得OE=2OA₁，
則△COE₁∽△B₁OA₁∽△BOA；
則E₁（8，-2）；
②以OC所在直線為對稱軸，作△B₁OA₁的對稱圖形△B₁OA₂，
延長OA₂至E₂，使得OE₂=2OA₂，
則△COE₂≌△COE₁∽△BOA；
易知A₂（1，-4），則E₂（2，-8）；
故存在兩個符合條件的E點，且坐標為E₁（8，-2），E₂（2，-8）．
點評：此題考查了反比例函數、二次函數解析式的確定，圖形面積的求法，相似三角形的判定等知識．難點在于（2）題的輔助線作法，能夠發現∠BOC=90°，并能通過旋轉作出相似三角形是解決問題的關鍵．