Question

16．如圖①，先把一矩形ABCD紙片上下對折，設折痕為MN；如圖②，再把點B疊在折痕線MN上，得到Rt△ABE．過B點作PQ⊥MN，分別交EC、AD于點P、Q．
（1）求證：△PBE∽△QAB；
（2）在圖②中，如果沿直線EB再次折疊紙片，點A能否疊在直線EC上？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若AB=3$\sqrt{2}$，求AE的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意可以得到∠BPE=∠AQB=90°，通過角的轉化可以得到∠BEP=∠ABQ，從而可以得到△PBE∽△QAB；
（2）根據折疊的知識可以得到QB=PB，由第（1）問中的相似可以得到對應邊成比例，通過轉化可以得到△PBE∽△BAE，從而可以解答本題；
（3）由題意和第（2）問可以得到∠AEB=∠BEP=60°，∠ABE=90°，又因為AB=3$\sqrt{2}$，sin∠AEB=$\frac{AB}{AE}$，從而可以得到AE的長度．

解答 （1）證明：∵PQ⊥MN，BN∥EC∥AD，
∴∠BPE=∠AQB=∠PBN=∠NBQ=90°，
∴∠PBE+∠BEP=90°，
又∵∠PBE+∠ABQ=180°-∠ABE=180°-90°=90°，
∴∠BEP=∠ABQ，
在△PBE∽△QAB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPE=∠AQB}\\{∠BEP=∠ABQ}\end{array}\right.$
∴△PBE∽△QAB；
（2）點A能疊在直線EC上，
理由：∵△PBE∽△QAB，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{PE}{QB}$，
∵由折疊可知，QB=PB，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{PE}{PB}$，即$\frac{BE}{PE}=\frac{AB}{PB}$，
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE，
∴∠AEB=∠PEB，
∴沿直線EB再次折疊紙片，點A能疊在直線EC上；
（3）解：由（2）可知，∠AEB=∠PEB，
而由折疊過程知：2∠AEB+∠PEB=180°，
∴∠AEB=∠PEB=60°，
在Rt△ABE中，sin∠AEB=$\frac{AB}{AE}$，
∴AE=$\frac{AB}{sin∠AEB}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}$．

點評 本題考查相似形綜合題，解題的關鍵是明確題意，求出題目中邊邊、角角、角邊之間的關系，然后找出所求問題需要的條件．