Question

6．如圖所示，直線y=kx+b分別交x軸、y軸于點A（1，0），B（0，-1），交雙曲線y=$\frac{m}{x}$于點C，D，且AB=AC．
（1）求直線及雙曲線的函數解析式；
（2）直接寫出不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）如圖，作CH⊥x軸于H．設直線AB的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求出k、b，利用△AOB∽△AHC，推出AH=OA=1，CH=OB=1，推出C（2，1），利用待定系數法即可求出m．
（2）根據一次函數的圖象在反比例函數的圖象上方，確定變量x的取值范圍即可．

解答 解：（1）如圖，作CH⊥x軸于H．設直線AB的解析式為y=kx+b，

把（A（1，0），B（0，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x-1．
在△AOB和△AHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CAH}\\{∠AOB=∠AHC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOB∽△AHC，
∴AH=OA=1，CH=OB=1，
∴C（2，1），
把C（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$中，得到m=2，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{2}{x}$．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∵C（2，1），
∴D（-1，-2），
由圖象可知，不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集為-1＜x＜0或x＞2．

點評 本題考查一次函數與反比例函數的交點問題、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法確定函數解析式，學會利用方程組求兩個函數圖象的交點坐標，學會根據圖象，確定自變量的取值范圍，屬于中考常考題型．