Question

【題目】已知拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C（0，4），與 x 軸交于點(diǎn) A、B，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（4，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn) Q 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) Q 作 QE∥AC，交 BC 于點(diǎn) E，連接 CQ，當(dāng)△CQE 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)沿著 BA 方向以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)沿著 AC 方向以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè) P、Q 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng) t 為何值？△APQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）秒或秒或2秒．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出，的值，即可求出該拋物線的解析式；

（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，再利用相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分別用t的式子表示出的邊長(zhǎng)，再在中分三種情況①，②，③構(gòu)建方程求出t值即可．

解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

，

解得：，

拋物線的解析式為：；

（2），

當(dāng)時(shí)，，

解得或，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，0，，，

．

設(shè)，

，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，面積最大，

點(diǎn)坐標(biāo)為．

（3）依題意得：BQ=2t，AP=，

∴AQ=6-2t，

∵OC=OA=4，

∴為等腰直角三角形，

∴∠CAO=45°，

在中分三種情況；

①當(dāng)時(shí)，如圖1，

則，解得：，

②當(dāng)AP=PQ時(shí)，如圖2，

∵∠CAO=45°，∴∠APQ=90°，

∴，即，解得

③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，如圖3，

∵∠CAO=45°，

∴∠AQP=90°，

∴，即，解得

綜上所述：使得是等腰三角形，則t的值為：秒或秒或2秒.