Question

【題目】如圖所示，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，且點B是劣弧DF的中點．

（1）求證：△EBD≌△EBF；

（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD＝4

【解析】

（1）連接OD、OF，，根據等弧所對的弦相等，可得BD＝BF，再根據弧與圓周角的關系可得∠DBE＝∠EBF，利用SAS可得結論；

（2）先由AE＝1，EB＝5，得到半徑OB＝3，則OE＝2，在Rt△EFO中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OG的長，根據勾股定理可計算DG的長，從而得CD的長．

解：（1）連接OD、OF，

∵B是劣弧DF的中點，

∴，

∴，

∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，

在△EBD和△EBF中，

∵，

∴△EBD≌△EBF（SAS）；

（2）∵AE＝1，EB＝5，

∴AB＝6，

∵AB是⊙O的直徑，

∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，

過O作OG⊥CD于G，則CD＝2DG，

∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，

∴OG＝OE＝1，

由勾股定理得：DG＝＝＝2，

∴CD＝2DG＝4．