Question

【題目】甲、乙兩公司同時銷售一款進價為40元/千克的產品．圖①中折線ABC表示甲公司銷售價y1（元/千克）與銷售量x（千克）之間的函數關系，圖②中拋物線表示乙公司銷售這款產品獲得的利潤y2（元）與銷售量x（千克）之間的函數關系．

（1）分別求出圖①中線段AB、圖②中拋物線所表示的函數表達式；

（2）當該產品銷售量為多少千克時，甲、乙兩公司獲得的利潤的差最大？最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）y2＝―0.4(x―75)2＋2250；（2）當銷售量為50千克時，甲乙兩公司獲得的利潤的差最大，最大是500元．

【解析】分析：（1）由圖象可知y與x之間是一次函數關系，可設y=kx+b，把（0，120），（80，72）代入可得；（2）根據：銷售利潤W=該產品每千克利潤×銷售量，列出函數關系式，配成二次函數頂點式，結合自變量取值范圍可得其最值．

詳解：（1）設y1與x之間的函數表達式為y1＝kx＋b．

根據題意，當x＝0時，y1＝120；當x＝80時，y1＝72．

所以，解得

所以，y1與x之間的函數表達式為y1＝－0.6x＋120．

設y2與x之間的函數表達式為y2＝a(x―75)2＋2250，

當x＝0時，y2＝0，解得a＝―0.4．

所以，y2與x之間的函數表達式為y2＝―0.4(x―75)2＋2250．

（2）解：設甲、乙兩公司的銷售總利潤的差為w（元）．

當0＜x≤80時，

w＝（y1－40）x―y2＝ (－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］

＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．

∵－0.2＜0，0＜x≤80

∴當x＝50時， w有最大值，最大值為500．

當80＜x≤84時，

w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，

∵當80＜x≤84時，w隨x的增大而增大，

∴當x＝84時， 有最大值，最大值為470.4．

綜上所述，當銷售量為50千克時，甲乙兩公司獲得的利潤的差最大，最大是500元．