Question

【題目】已知：如圖，直線AB與x軸y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y= 在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，BO=2AO=4，△AOC的面積為2 +2．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點(diǎn)P在雙曲線y= 上，點(diǎn)Q在y軸上，且以A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求所有符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BO=2AO=4，

∴A（﹣2，0），B（0，4），

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（﹣2，0），B（0，4）分別代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=2x+4，

設(shè)C（t，2t+4）

∵△AOC的面積為2 +2．

∴ 2（2t+4）=2 +2，解得t= ﹣1，

∴C（ ﹣1，2 +2），

把C（ ﹣1，2 +2）代入y= 得k=（ ﹣1）（2 +2）=12

（2）解：當(dāng)平行四邊形為AQPB時(shí)，把A點(diǎn)向右平移2個(gè)單位得到Q1點(diǎn)，則B點(diǎn)向右平移2個(gè)單位得到P1點(diǎn)，所以P1（2，6），即B點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到P1點(diǎn)，所以A點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)Q1（0，2）；

當(dāng)平行四邊形為APQB時(shí)，則P2（﹣2，﹣6），即點(diǎn)A向下平移6個(gè)單位得到點(diǎn)P2，則B點(diǎn)向下平移6個(gè)單位得到點(diǎn)Q2（0，﹣2）；

當(dāng)平行四邊形為APBQ時(shí)，則P2（﹣2，﹣6），即點(diǎn)A向下平移6個(gè)單位得到點(diǎn)P2，則B點(diǎn)向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)Q3（0，10）；

綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）、（0，﹣2）、（0，10）．

【解析】（1）先由BO=2AO=4得到A（﹣2，0），B（0，4），再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=2x+4，設(shè)C（t，2t+4），利用三角形面積公式得到 2（2t+4）=2 +2，然后解方程求出t即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求k的值；（2）分類討論：分AB為平行四邊形的邊和對(duì)角線討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．