Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx的頂點為C（1，），P是拋物線上位于第一象限內的一點，直線OP交該拋物線對稱軸于點B，直線CP交x軸于點A．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）如果點P的橫坐標為m，試用m的代數式表示線段BC的長；

（3）如果△ABP的面積等于△ABC的面積，求點P坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=x2-2x；(2)BC=m-1;(3) P的坐標為（）

【解析】分析：（1）由對稱軸公式，以及已知頂點C坐標，利用待定系數法確定出解析式即可；

（2）設出P坐標，令BC與x軸交點為M，過點P作PN⊥x軸，垂足為點N，表示出PN，ON，OM，利用比例表示出BM，進而表示出BC即可；

（3）設出P坐標，由兩三角形面積相等得到AC=AP，過點P作PQ⊥BC交BC于點Q，列出關于t的方程，求出方程的解確定出t的值，即可求出P坐標．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2+bx的頂點為C（1，﹣1），∴，解得：，∴拋物線的表達式為：y=x2﹣2x；

（2）∵點P的橫坐標為m，∴點P的縱坐標為：m2﹣2m，令BC與x軸交點為M，過點P作PN⊥x軸，垂足為點N．∵P是拋物線上位于第一象限內的一點，∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，由=，得：=，∴BM=m﹣2．∵點C的坐標為（1，﹣1），∴BC=m﹣2+1=m﹣1；

（3）令P（t，t2﹣2t）．∵△ABP的面積等于△ABC的面積，∴AC=AP，過點P作PQ⊥BC交BC于點Q，∴CM=MQ=1，可得：t2﹣2t=1，解得：t=1+（t=1﹣舍去），∴P的坐標為（1+，1）．