Question

【題目】（1）問題背景

如圖①，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，AB=AC，P為BmC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），求證： PA=PB+PC．

小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三條線段AB，AP，AC，且AB=AC，這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊．于是，小明同學(xué)有如下思考過程：

第一步：將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①）；

第二步：證明Q，B，P三點(diǎn)共線，進(jìn)而原題得證．

請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程．

（2）類比遷移

如圖②，⊙O的半徑為3，點(diǎn)A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如圖③，⊙O的半徑為3，點(diǎn)A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OC最小值是3﹣3；（3）．

【解析】試題分析：（1）將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①），只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題；

（2）如圖②中，連接OA，將△OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB，連接OB，OQ，在△BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問題；

（3）如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問題．作AQ⊥OA，使得AQ=OA，連接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=OC，當(dāng)BQ最小時(shí)，OC最小；

試題解析：（1）將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①）；

∵BC是直徑，∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，

由旋轉(zhuǎn)可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，

∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三點(diǎn)共線，

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，

∴QP=AP=QB+BP=PC+PB，∴AP=PC+PB．

（2）如圖②中，連接OA，將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB，連接OB，OQ，

∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋轉(zhuǎn)可得　QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，

∴在Rt△OAQ中，OQ=3，AO=3 ，∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=3﹣3 ，

即OC最小值是3﹣3；

（3）如圖③中，作AQ⊥OA，使得AQ=OA，連接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC，∵=，

∴△QAB∽OAC，∴BQ=OC，

當(dāng)BQ最小時(shí)，OC最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ﹣OB，∴OQ≥2，]

∴BQ的最小值為2，

∴OC的最小值為×2=，

故答案為．