Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點在直線上．

（1）求直線的函數表達式；

（2）現將拋物線沿該直線方向進行平移，平移后的拋物線的頂點為點，與直線的另一個交點為點，與軸的右交點為點（點不與點重合），連接，．

①如圖，在平移過程中，當點在第四象限且的面積為60時，求平移的距離的長；

②在平移過程中，當是以線段為一條直角邊的直角三角形時，求出所有滿足條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②或．

【解析】

（1）利用配方法將拋物線表達式變形為頂點式，由此可得出點A的坐標，根據點A的坐標，利用待定系數法即可求出直線的函數表達式；

（2）設點A′的坐標為（m，﹣2m﹣2），則平移后拋物線的函數表達式為y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2，利用一次函數圖象上點的坐標特征結合點C在x軸上且點C不與點A′重合，可得出m＞﹣1．

①聯立直線和拋物線的表達式成方程組，通過解方程組可求出點B′的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，過點C作CD∥y軸，交直線A′B′于點D，由點C的坐標可得出點D的坐標，利用S△A′B′C＝S△B′CD﹣S△A′CD＝60，即可得出關于t的方程，利用換元法解方程組即可得出m的值，進而可得出點A′的坐標，再由點A的坐標利用兩點間的距離公式即可求出結論；

②根據點A′、B′、C的坐標，可得出A′B′、A′C、B′C的長度，分∠A′B′C＝90°及∠B′A′C＝90°兩種情況，利用勾股定理可得出關于m的方程，利用換元法解方程即可求出m的值，進而可得出點A′的坐標，此題得解．

（1）∵y＝﹣6x+4＝（x﹣6）2﹣14，

∴點A的坐標為（6，﹣14）．

∵點A在直線y＝kx﹣2上，

∴﹣14＝6k﹣2，解得：k＝﹣2，

∴直線的函數表達式為y＝﹣2x﹣2．

（2）設點A′的坐標為（m，﹣2m﹣2），則平移后拋物線的函數表達式為y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2．

當y＝0時，有﹣2x﹣2＝0，

解得：x＝﹣1，

∵平移后的拋物線與x軸的右交點為C（點C不與點A′重合），

∴m＞﹣1．

①聯立直線與拋物線的表達式成方程組，

解得： ， ，

∴點B′的坐標為（m﹣4，﹣2m+6）．

當y＝0時，有（x﹣m）2﹣2m﹣2＝0，

解得：x1＝m﹣2，x2＝m+2，

∴點C的坐標為（m+2，0）．

過點C作CD∥y軸，交直線A′B′于點D，如圖所示．

當x＝m+2時，y＝﹣2x﹣2＝﹣2m﹣4﹣2，

∴點D的坐標為（m+2，﹣2m﹣4﹣2），

∴CD＝2m+2+4．

∴S△A′B′C＝S△B′CD﹣S△A′CD＝CD[m+2﹣（m﹣4）]﹣CD（m+2﹣m）＝2CD＝2（2m+2+4）＝60．

設t＝，則有t2+2t﹣15＝0，

解得：t1＝﹣5（舍去），t2＝3，

∴m＝8，

∴點A′的坐標為（8，﹣18），

∴AA′＝．

②∵A′（m，﹣2m﹣2），B′（m﹣4，﹣2m+6），C（m+2，0），

∴A′B′2＝（m﹣4﹣m）2+[﹣2m+6﹣（﹣2m﹣2）]2＝80，A′C2＝（m+2﹣m）2+[0﹣（﹣2m﹣2）]2＝4m2+12m+8，B′C2＝[m+2﹣（m﹣4）]2+[0﹣（﹣2m+6）]2＝4m2﹣20m+56+16．

當∠A′B′C＝90°時，有A′C2＝A′B′2+B′C2，即4m2+12m+8＝80+4m2﹣20m+56+16，

整理得：32m﹣128﹣16＝0．

設a＝，則有2a2﹣a﹣10＝0，

解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝，

∴m＝，

∴點A′的坐標為；

當∠B′A′C＝90°時，有B′C2＝A′B′2+A′C2，即4m2﹣20m+56+16＝80+4m2+12m+8，

整理得：32m+32﹣16＝0．

設a＝，則有2a2﹣a＝0，

解得：a3＝0（舍去），a4＝，

∴m＝﹣，

∴點A′的坐標為．

綜上所述：在平移過程中，當△A′B′C是以A′B′為一條直角邊的直角三角形時，點A′的坐標為或．