Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．

（1）求證：CF=BF；

（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【考點】圓周角定理；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系．

【分析】（1）首先延長CE交⊙O于點P，由垂徑定理可證得∠BCP=∠BDC，又由C是的中點，易證得∠BDC=∠CBD，繼而可證得CF=BF；

（2）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的長，繼而求得答案．

【解答】（1）證明：延長CE交⊙O于點P，

∵CE⊥AB，

∴=，

∴∠BCP=∠BDC，

∵C是的中點，

∴CD=CB，

∴∠BDC=∠CBD，

∴∠CBD=∠BCP，

∴CF=BF；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD=6，AC=8，

∴BC=6，

在Rt△ABC中，AB==10，

∴⊙O的半徑為5．