Question

已知等邊△ABC邊長為a，D、E分別為AB、AC邊上的動點，且在運動時保持DE∥BC，如圖（1），⊙O₁與⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分別與∠B和∠C的兩邊及DE都相切，其中和DE、BC的切點分別為M、N、M′、N′．
（1）求證：⊙O₁和⊙O₂是等圓；
（2）設⊙O₁的半徑長為x，圓心距O₁O₂為y，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當⊙O₁與⊙O₂外切時，求x的值；
（4）如圖（2），當D、E分別是AB、AC邊的中點時，將⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后將重合后的圓沿著△ABC內各邊按圖（2）中箭頭的方向進行滾動，且總是與△ABC的邊相切，當點O₁第一次回到它原來的位置時，求點O₁經過的路線長度？

Answer 1

（1）連接MM′、NN′．
∵DE和BC是⊙O₁的切線，DE∥BC，
∴MM′過點O₁．同理NN'過點O₂．∵MM′⊥BC，MM′⊥DE，NN′⊥BC
∴四邊形MM′N′N是矩形．
∴MM′=NN′，即⊙O₁和⊙O₂是等圓；

（2）連接O_lB，O_lO₂，O₂C，O_lM′，O₂N′．
易證四邊形O₁BCO₂是等腰梯形，四邊形O₁M′N′O₂是矩形．
在Rt△O₁BM′中，∠0₁BM′=30°，O_lM′=x，
則BM′=

3

x．
∵y=O₁0₂=M′N′，BM′=N′C=

3

x，BC=BM′+M′N′+N′C，
∴y+2

3

=a，
∴y=a-2

3

x，
求得0＜x≤

3

6

a；

（3）當⊙O_l和⊙O₂外切時，O_lO₂=2x，2x=a-2

3

x，
∴x=（

3

-1）

a

4

；

（4）當DE是△ABC的中位線時，求得x=

3

8

a．
此時BM'=

3

x=

3

8

a．
⊙O₁的圓心O₁所經過的路線是與△ABC相似，且各邊與△ABC各邊距離為

3

8

a的正三角形．
其邊長為a-

3

8

a×2=

a

4

，
∴所求的圓心O₁走過的長度為：

a

4

×3=

3

4

a．