Question

【題目】如圖，是正方形的對角線，點是的中點，點是上一點，連接于點交于點連接．

求證：（1）；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）由正方形的性質，得到BC=CD，∠B=∠PCD=90°，由，則∠DEC=90°，利用等角的余角相等，得到∠BCQ=∠CDE，即可得到；

（2）連接OB，由（1）可知BQ=CP，由正方形的性質得到∠OBQ=∠OCP=45°，OB=OC，然后得到△OBQ≌△OCP，即可得到OQ=OP.

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠PCD=90°，

∵，

∴∠DEC=90°，

∴∠BQC+∠BCQ =90°，∠DCE+∠CDE=90°，

∵AB∥CD，

∴∠BQC=∠DCE，

∴∠BCQ=∠CDE，

∴（ASA）；

（2）如圖，連接OB，

由（1）可知，，

∴BQ=CP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠OBQ=∠OCP=45°，OB=OC，

∴△OBQ≌△OCP（SAS），

∴.