Question

【題目】如圖，正方形ABCD 中，AB＝4，E為CD上一動點，連接AE交BD于F，過F作FH⊥AE于F，過H 作HG⊥BD 于 G．則下列結論：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH 的周長為 8．其中正確的個數是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①作輔助線，延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需證明FC=FH，可證：AF=FH；

②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；

③作輔助線，連接AC交BD于點O，證BD=2FG，只需證OA=GF即可，根據△AOF≌△FGH，可證OA=GF，故可證BD=2FG；

④作輔助線，延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥HL，則IL=HC，可證AL=HE，再根據△MEC≌△MIC，可證：CE=IM，故△CEH的周長為邊AM的長．

①連接FC，延長HF交AD于點L，

∵BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠ADB=∠CDF=45°．

∵AD=CD，DF=DF，

∴△ADF≌△CDF．

∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．

∵∠ALH+∠LAF=90°，

∴∠LHC+∠DAF=90°．

∵∠ECF=∠DAF，

∴∠FHC=∠FCH，

∴FH=FC．

∴FH=AF．

②∵FH⊥AE，FH=AF，

∴∠HAE=45°．

③連接AC交BD于點O，可知：BD=2OA，

∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，

∴∠AFO=∠GHF．

∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA=GF．

∵BD=2OA，

∴BD=2FG．

④連接EM，延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥HL，則：LI=HC，

∵HL⊥AE，CI∥HL，

∴AE⊥CI，

∴∠DIC+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠AED=90°，

∴∠DIC=∠AED，

∵ED⊥AM，AD=DM，

∴EA=EM，

∴∠AED=∠MED，

∴∠DIC=∠DEM，

∴∠CIM=∠CEM，

∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°，

∴△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，

同理，可得：AL=HE，

∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．

∴△CEH的周長為8，為定值．

故①②③④結論都正確．

故選D．