Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內一點，且PA=3，PB=1，PC= CD=2，CD⊥CP,求∠BPC的度數

Answer 1

【答案】135°

【解析】試題分析：根據同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD，再利用“邊角邊”證明△ACP和△BCD全等，判斷出△PCD是等腰直角三角形，再根據全等三角形對應邊相等可得AP=BD，然后利用勾股定理逆定理判斷出△BPD是直角三角形，∠BPD=90°，再根據∠BPC=∠BPD+∠CPD代入數據計算即可得解．

試題解析：

解：連接BD.

∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，

∴△CPD為等腰直角三角形．

∴∠CPD＝45°.

∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，

∴∠ACP＝∠BCD.

∵CA＝CB，

∴△CAP≌△CBD(SAS)．

∴DB＝PA＝3.

在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8.

又∵PB＝1，DB2＝9，

∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.

∴∠DPB＝90°.

∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.