Question

（1）已知，如圖甲，MN是平行四邊形ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足．求證：AA′+CC′=BB''+DD′．
（2）若直線MN向上移動，使點C在直線一側，A、B、D三點在直線另一側（如圖乙），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關系？先對結論進行猜想，然后加以證明．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BD交于O，過O作OO′⊥MN于O′，根據平行四邊形的性質得出OA=OC，OB=OD，得出BB′∥OO′∥DD′，根據三角形的中位線得出OO′=

1

2

（BB′+DD′），OO′=

1

2

（AA′+CC′）即可；
（2）連接AC、BD交于O，過O作OO′⊥MN于O′，延長C′O交AA′于E，根據平行線性質求出∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，證△AEO≌△OC′C，推出EO=C′O，得出A′O′=O′C′，
根據中位線的性質求出OO′=

1

2

（AA′-CC′），OO′=

1

2

（BB′+DD′），推出AA′-CC′=BB′+DD′即可．

解答：
（1）證明：連接AC、BD交于O，過O作OO′⊥MN于O′，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BB′、DD′、OO′都垂直MN，
∴BB′∥OO′∥DD′，
∵OB=OD，OA=OC，
∴B′O′=O′D′，A′O′=C′O′，（一組平行線在一條直線上截的線段相等，那么在其它直線上截的線段也相等）
∴OO′=

1

2

（BB′+DD′），OO′=

1

2

（AA′+CC′），
∴AA′+CC′=BB′+DD′．

（2）垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間的關系是AA′=BB′+CC′+DD′，
證明：連接AC、BD交于O，過O作OO′⊥MN于O′，延長C′O交AA′于E，
由（1）知：AA′∥OO′∥CC′，
∴∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，
∵OA=OC，
∴△AEO≌△OC′C，
∴EO=C′O，
∵OO′∥AA′，
∴A′O′=O′C′，
即OO′是△C′A′E的中位線，
∴OO′=

1

2

A′E=

1

2

（AA′-CC′），
由（1）知：OO′=

1

2

（BB′+DD′），
∴AA′-CC′=BB′+DD′，
即AA′=BB′+CC′+DD′．

點評：本題考查了平行四邊形性質，三角形的中位線，梯形的中位線，全等三角形的性質和判定，平行線分線段成比例定理的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，解此題的關鍵是正確作輔助線．