Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，且對角線AC為直徑，AD=BC，過點D作DG⊥AC，垂足為E，DG分別與AB及CB延長線交于點F、M．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若點G為MF的中點，求證：BG是⊙O的切線；
（3）若AD=4，CM=9，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠ABC=90°．

在Rt△ADC和Rt△CBA中，AC=CA，AD=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CBA，

∴∠CAD=∠ACB，

∴AD∥BC，

又∵AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

又∵∠ABC=90°，

∴□ABCD是矩形．

（2）證明：連接OB．

在Rt△MBF中，G是MF的中點，

∴BG= MF=FG，

∴∠GBF=∠GFB=∠AFE．

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB．

∵DG⊥AC，

∴∠AFE+∠OAB=90°，

∴∠GBF+∠OBA=90°，即OB⊥BG，

∴BG是⊙O的切線．

（3）解：由（1）得四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠DCM=90°．

又∵AC⊥DG，

∴∠CDM+∠ACD=90°，∠CDM+∠M=90°

∴∠ACD=∠M．

又∵∠ADC=∠DCM，

∴△ACD∽△DMC，

∴ ，

∴DC2=ADCM=36，

∴DC=6，

∴S矩形ABCD=ADCD=24．

【解析】（1）由直徑所對的圓周角等于90°可知∠ADC=∠ABC=90°，然后利用HL可證明Rt△ADC≌Rt△CBA，依據全等三角形的性質得到∠CAD=∠ACB，然后令平行線的判定定理可得到AD∥BC，依據有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可知ABCD是平行四邊形，然后由∠ABC=90°，可證明四邊形ABCD是矩形．（2）連接OB．依據直角三角形斜邊上中線的性質可得到GF=GB，則∠GBF=∠GFB=∠AFE，由OA=OB，可證明∠OBA=∠OAB，由∠AFE+∠OAB=90°，可得到∠GBF+∠OBA=90°；（3）先證明△ACD∽△DMC，由相似三角形對應邊成比例可求得DC=6，最后利用矩形的面積=長×寬求解即可．