Question

【題目】如圖，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（2，0），點B（0，2），動點D以1個單位長度/秒的速度從點A出發向x軸負半軸運動，同時動點E以個單位長度/秒的速度從點B出發向y軸負半軸運動，設運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F

（1）求∠OAB度數；

（2）當t為何值時，四邊形ADEF為菱形，請求出此時二次函數解析式；

（3）是否存在實數t，使△AGF為直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠OAB＝60°；（2）t＝或t＝4，四邊形ADEF為菱形，；（3）存在，t＝，使△AGF為直角三角形，見解析.

【解析】

（1）在Rt△BOA中，OA＝2，OB＝2，根據銳角三角函數的定義即可得出tan∠OAB的值，進而得出∠OAB的度數；

（2）證明DE∥AB，可得四邊形ADEF為平行四邊形，當AD＝DE時，四邊形ADEF為菱形，用t表示出AD，DE的長，解方程即可得出t的值，再設頂點式可求得此時二次函數的解析式；

（3）由題意可得∠GFA＝∠BAO＝60°，∠FGA≠90°，所以使△AGF為直角三角形，只能是∠FAG＝90°，用t分別表示出AF，FG的長，根據FG＝2AF，即可得出t的值．

解：（1）∵直線AB與x軸，y軸分別交于點A（2，0），點B（0，2），∠BOA＝90°，

∴OA＝2，OB＝2，

∴tan∠OAB＝，

∴∠OAB＝60°；

（2）∵AD＝t，BE＝tm

∴，

∴DE∥AB，

∴∠EDO＝∠BAO＝60°，

∵過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F，

∴四邊形ADEF為平行四邊形，

當AD＝DE時，四邊形ADEF為菱形，

∵OD＝2﹣t或OD＝t﹣2，DE＝2OD，

∴DE＝4﹣2t或DE＝2t﹣4，

∴t＝4﹣2t或t＝2t﹣4，

解得：t＝或t＝4，

當t＝時，點E坐標為（0，），

設二次函數解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點E坐標代入，可得a＝，

∴二次函數解析式為y＝（x﹣2）2；

當t＝4時，點E坐標為（0，），

設二次函數解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點E坐標代入，可得a＝，

∴二次函數解析式為y＝（x﹣2）2；

（3）∵EG∥OA，

∴∠GFA＝∠BAO＝60°，

∵G在二次函數圖象上，

∴∠FGA≠90°，

∴使△AGF為直角三角形，只能是∠FAG＝90°，

由對稱性可得，EG＝4，

∵四邊形ADEF為平行四邊形，

∴EF＝AD＝t，AF＝DE＝2（2﹣t），

∵FG＝2AF，

∴4﹣t＝4（2﹣t），

解得：t＝，

∴存在實數t＝，使△AGF為直角三角形．