Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，且AB=4，點(diǎn)C在半徑OA上（點(diǎn)C與點(diǎn)O、點(diǎn)A不重合），過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交⊙O于點(diǎn)D．連接OD，過(guò)點(diǎn)B作OD的平行線交⊙O于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求∠F的度數(shù)；

（2）求證：BE=2OC；

（3）設(shè)AC=x，則當(dāng)x為何值時(shí)BEEF的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）∠F=30°；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)x= 時(shí)，最大值=9．

【解析】分析：

（1）如圖，連接OE，由OD∥OE可得∠DOE=∠OEB，由點(diǎn)E是的中點(diǎn)可得∠DOE=∠BOE，由OB=OE可得∠OBE=∠OEB，由此可得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，結(jié)合CF⊥AB即可得到∠F=30°；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，由此可得BE=2BM，再證△OBM≌△DOC可得BM=OC，這樣即可得到結(jié)論BE=2OC；

（3）由OD∥BF可得△COD∽△CBF，由此可得，由AB=4，AC=x結(jié)合（2）中結(jié)論可得OD=OB=BE=2，BC=4-x，OC=2-x，BE=2OC=4-2x，由此即可解得BF=，從而可得EF=BF-BE=，這樣即可把BEEF用含x的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，化簡(jiǎn)配方即可求得所求答案了.

詳解：

（1）如圖1，連接OE．

∵，

∴∠BOE=∠EOD，

∵OD∥BF，

∴∠DOE=∠BEO，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°，

∴∠F=30°；

（2）如圖1，過(guò)O作OM⊥BE于M，

∵OB=OE，

∴BE=2BM，

∵OD∥BF，

∴∠COD=∠B，

在△OBM與△DOC中 ，

∴△OBM≌△DOC，

∴BM=OC，

∴BE=2OC；

（3）∵OD∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴，

∵AC=x，AB=4，

∴OA=OB=OD=2，

∴OC=2﹣x，BE=2OC=4﹣2x，

∴，

∴BF=，

∴EF=BF﹣BE=，

∴BEEF=，

∴當(dāng)時(shí)，最大值=9．