Question

【題目】（本題9分）如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE,點F落在AD上.

(1)求證：△ABF∽△DFE

(2)若△BEF也與△ABF相似，請求出的值 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）在△ABF與△DFE中的對應角∠A=∠D=90°，∠2=∠1，易證△ABF∽△DFE；

（2）需要分類討論：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB時求出的值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°.

∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE=∠C="90°." ∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°.

又∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DFE。∴△ABE∽△DFE.

（2）①當△ABF∽△FBE時，∠2=∠4．

∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，∴∠2=∠4=∠5=30°.

∴設CE=EF=x，則BC=x，DE=x. ∴DC=x. ∴.

②當△ABF∽△FEB時，∠2=∠6，

∵∠4+∠6=90°，∴∠2+∠4=90°，這與∠2+∠4+∠5=90°相矛盾. ∴△ABF∽△FEB不成立．

綜上所述， 的值是.