Question

【題目】如圖，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直徑，⊙O的切線BD交AC的延長線于點B，切點為D，∠DAC=30°．

（1）求證：△ADB是等腰三角形；

（2）若BC= ，則AD的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

試題（1）連接OD，由OA=OD，∠DAC=30°， 從而可得 ∠DOC =60°，再由BD是⊙O的切線，可得∠ODB=90°，從而可得∠B=30°，問題得證；

（2）連接CD，由AC是直徑得∠ADC=90°，從而可得∠ACD=60°，再根據三角形的外角以及∠B=30°從而可得CD=CB=，再利用勾股定理即可得解.

試題解析：（1）連接OD，∵∠DAC=30°， ∴∠ADO=∠DAC =30°， ∠DOC =60°，

∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，即∠ODB=90°，∴∠B=30°，

∴∠DAC=∠B ∴DA=DB， 即△ADB是等腰三角形；

（2）連接CD，∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=60°，∵∠ACD=∠B+∠BDC，∵∠B=30°，∴∠BDC=30°=∠B，∴CD=CB=，∴AC=2CD=2，

∴AD==3.