Question

13．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB是⊙O的直徑，過B點作⊙O的切線BC，E是BC的中點，AC交⊙O于點F，四邊形AOEF是平行四邊形．
（1）求BC的長．
（2）求證：EF是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）連接OF，由四邊形AOEF是平行四邊形，得到EF∥AB由E是BC的中點，得到AF=CF，根據切線的性質得到∠ABE=90°，推出四邊形BEFO是矩形，于是得到結論；
（2）由（1）證得四邊形OBEF為矩形，得到∠EFO=90°，即EF⊥OF，根據切線的判定定理即可得到結論．

解答 解：（1）連接OF，
∵四邊形AOEF是平行四邊形，
∴EF∥AB，
∵E是BC的中點，
∵AF=CF，
∵AO=BO，
∴OF∥BC，
∵過B點作⊙O的切線BC，
∴∠ABE=90°，
∴四邊形BEFO是矩形，
∴BE=OF=2，
∴BC=2EB=4；

（2）由（1）證得四邊形OBEF為矩形，
∴∠EFO=90°，
即EF⊥OF，
 又OF為半徑，
∴EF是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，熟練掌握切線的判定和性質是解題的關鍵．