Question

【題目】如圖，已知AB=10，P是線段AB上的任意一點，在AB的同側分別以AP、PB為邊作等邊三角形APC和等邊三角形PBD，連結CD.

（1）當AP＝6時，求CD的長；

（2）當AP為多少時，CD的值最小，最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當AP＝5時，CD的長度最小，最小值是5.

【解析】

（1）如圖，過C作CE⊥AB于E，過D作DF⊥PB于F，過D作DG⊥CE于G．即可得四邊形DFEG為矩形.根據等邊三角形的性質及矩形的性質求得EF=5，CG=，再利用勾股定理求得CD的長即可；（2）在（1）的基礎上可得CD= ，當CG=0時，CD有最小值，由此求得CD的長即可.

（1）如圖，過C作CE⊥AB于E，過D作DF⊥PB于F，過D作DG⊥CE于G．即可得四邊形DFEG為矩形.

∵AB=10，AP=6，

∴PB=4，

∵△APC和△PBD是等邊三角形，CE⊥AB ， DF⊥PB，

∴EP=AP=3，PF=PB=2，

∴EF=EP+FP=5.

在Rt△DPF中，DP=4，PF=2，

由勾股定理求得DF=.

在Rt△CEP中，PC=6，PE=3，

由勾股定理求得CE=.

由矩形的性質可得，DG=EF=5，EG=DF，

∴CG=.

在Rt△CGD中，DG=5，CG=，由勾股定理求得CD=2；

（2）如圖， 由（1）得，DG=EF=AB=5，CD≥DG，

∴CD= ，故CG=0時，CD有最小值，

當P為AB中點時，有CD=DG=5，

所以CD長度的最小值是5．